By guenchi at 2018-02-06 • 0人收藏 • 271人看过

Scheme 流

SICP 习题 3.55

Define a procedure `partial-sums' that takes as argument a stream S and returns the stream whose elements are S_0, S_0 + S_1, S_0 + S_1 + S_2, .... For example, `(partial-sums integers)' should be the stream 1, 3, 6, 10, 15, ....

一个低效率的解

一个很普通的想法是, (partial-sums s) 的第一个元素是 (stream-car s),而后面的元素应该是把这第一个元素 (stream-car s) 加到 (partial-sums (stream-cdr s)) 上。

具体一点,举个例子。对于整数来说,就是这样。 (partial-sums integers) 就是求这样一个 stream:

1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, ...

它的第一个元素是 1。后面的序列我们可以把 1 加到下面这个序列 来得到:

2, 2+3, 2+3+4, ...

注意到,这个序列就是序列 2, 3, 4, ... 的 partial-sums。也就 是 (partial-sums (stream-cdr s)).

于是我们把 partial-sums 定义如下:

(define (partial-sums s)
  (cons-stream (stream-car s)
               (stream-map (lambda (x) (+ (stream-car s) x))
                           (partial-sums (stream-cdr s)))))

这个定义能够正常工作,但是这里有一个效率上的问题。如果我们要 求:

(define sum1 (partial-sums integers))
(stream-ref sum1 0)

当然我们立即得到了 1。因为最开头时 sum1 是这个样子:

(cons 1
      (delay (stream-map (lambda (x) (+ 1 x))
                         (partial-sums 2,3,4...))))

当我们要求 (stream-ref sum1 1) 的时候,delay 被 force。于是 我们要把 (lambda (x) (+ 1 x)) 作用到 (partial-sums 2,3,4...) 得到第2个元素。我们必须先计算 (partial-sums 2,3,4...),它被 展开成:

(cons 2
      (delay (stream-map (lambda (x) (+ 2 x))
                         (partial-sums 3,4,5...))))

于是在 stream-map 被执行之前,实际上 sum1 展开成这个样子:

(cons 1
      (delay (stream-map (lambda (x) (+ 1 x))
                         (cons 2
                               (delay (stream-map (lambda (x) (+ 2 x))
                                                  (partial-sums 3,4,5...)))))))

当 stream-map 被执行之后, sum1 就变成了这样:

(cons 1
      (cons 3
            (delay (stream-map (lambda (x) (+ 1 x))
                               (stream-cdr 
                                (cons 2
                                      (delay (stream-map (lambda (x) (+ 2 x))
                                                         (partial-sums 3,4,5...)))))))))

看到了? delay 里面嵌套了两个 stream-map。这样我们如果要求 (stream-ref sum1 2),实际上,我们先求得了 (partial-sums 3,4,5,...) 的第一个元素然后,把 1,2 嵌套的加到上面。

越往后计算,嵌套的 stream-map 就越多。每次我们需要第 n 个还 没有计算过的新的元素,我们必须把 (partial-sums n+1,n+2, ...) 求出来,然后把 1,2,3,...,n 加到上面。这显然是非常低效率的。

改进的方法

我们既然已经知道了 partial-sums 前面的部分,为什么不直接利用 这个结果呢?

我们可以把 1 之后的流 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4+5, ... 分成两部分:

2,3,4,5,...

1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, ...

后者正好是 (partial-sums integers) 本身。所以我们可以得到一 个递归的定义:

(define (partial-sums s)
  (letrec ((p (cons-stream (stream-car s)
                           (add-streams p (stream-cdr s)))))
    p))

(define sum2 (partial-sums integers))

这里用了一个递归的定义。我们来看看这个定义是怎样执行的:

(stream-ref sum2 0) 直接返回 1. 接着, sum2 变成这个样子:

p=(cons 1
        (delay
          (add-streams p (stream-cdr 1,2,3,4,...))))

这里有一个递归定义。接着我们如果取 (stream-ref sum2 1),那么 当我们要求 (stream-cdr sum2) 时,sum2 的 delay 被 force。于 是 (stream-cdr sum2) 返回这样一个结构:

p=(cons 3
      (delay 
        (add-streams p (stream-cdr 2,3,4,...))))

我为 (stream-cdr sum2) 取了一个临时名字叫 p,不然不好叙述。 程序里面是没有这个名字的。

继续 (stream-cdr p) 就会得到:

p=(cons 6
      (delay 
        (add-streams p (stream-cdr 3,4,5,...))))

这样每次往后计算,我们只需要把下一个数加到以前的结果上。


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